Все о тюнинге авто

Линейные неравенства. Исчерпывающий гид (2019)

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Интерактивное учебное пособие для 9 класса "Правила и упражнения по геометрии"
Электронное учебное пособие "Понятная геометрия" для 7-9 классов

Система неравенств

Ребята, вы изучили линейные и квадратные неравенства, научились решать задачи на эти темы. Теперь давайте перейдем к новому понятию в математике – система неравенств. Система неравенств похожа на систему уравнений. Вы помните системы уравнений? Системы уравнений вы изучали в седьмом классе, постарайтесь вспомнить, как вы их решали.

Введем определение системы неравенств.
Несколько неравенств с некоторой переменой х образуют систему неравенств, если нужно найти все значения х, при которых каждое из неравенств образует верное числовое выражение.

Любое значение x, при которых каждое неравенство принимает верное числовое выражение, является решением неравенства. Также может называться и частным решением.
А что есть частное решение? Например, в ответе мы получили выражение х>7. Тогда х=8, или х=123, или какое-либо другое число большее семи – частное решение, а выражение х>7 – общее решение. Общее решение образуется множеством частных решений.

Как мы объединяли систему уравнений? Правильно, фигурной скобкой, так вот с неравенствами поступают также. Давайте рассмотрим пример системы неравенств: $\begin{cases}x+7>5\\x-3
Если система неравенств состоит из одинаковых выражений, например, $\begin{cases}x+7>5\\x+7
Так, что же значит: найти решение системы неравенств?
Решение неравенства – это множество частных решений неравенства, которые удовлетворяют сразу обоим неравенствам системы.

Общий вид системы неравенств запишем в виде $\begin{cases}f(x)>0\\g(x)>0\end{cases}$

Обозначим $Х_1$ – общее решение неравенства f(x)>0.
$Х_2$ – общее решение неравенства g(x)>0.
$Х_1$ и $Х_2$ - это множество частных решений.
Решением системы неравенств будут числа, принадлежащие, как $Х_1$, так и $Х_2$.
Давайте вспомним операции над множествами. Как нам найти элементы множества, принадлежащие сразу обоим множествам? Правильно, для этого есть операция пересечения. Итак, решением нашего неравенство будет множество $А= Х_1∩ Х_2$.

Примеры решений систем неравенств

Давайте посмотрим примеры решения систем неравенств.

Решите систему неравенств.
а) $\begin{cases}3x-1>2\\5x-10 b) $\begin{cases}2x-4≤6\\-x-4
Решение.
а) Решим каждое неравенство отдельно.
$3х-1>2; \; 3x>3; \; x>1$.
$5x-10
Отметим наши промежутки на одной координатной прямой.

Решением системы будет отрезок пересечения наших промежутков. Неравенство строгое, тогда отрезок будет открытым.
Ответ: (1;3).

Б) Также решим каждое неравенство отдельно.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ 5$.
$-x-4 -5$.


Решением системы будет отрезок пересечения наших промежутков. Второе неравенство строгое, тогда отрезок будет открытым слева.
Ответ: (-5; 5].

Давайте обобщим полученные знания.
Допустим, необходимо решить систему неравенств: $\begin{cases}f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end{cases}$.
Тогда, интервал ($x_1; x_2$) – решение первого неравенства.
Интервал ($y_1; y_2$) – решение второго неравенства.
Решение системы неравенств – есть пересечение решений каждого неравенства.

Системы неравенств могут состоять из неравенств не только первого порядка, но и любых других видов неравенств.

Важные правила при решении систем неравенств.
Если одно из неравенств системы не имеет решений, то и вся система не имеет решений.
Если одно из неравенств выполняется для любых значений переменой, то решением системы будет решение другого неравенства.

Примеры.
Решить систему неравенств:$\begin{cases}x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end{cases}$
Решение.
Решим каждое неравенство по отдельности.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.



Решим второе неравенство.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

Решением неравенства будет промежуток.
Нарисуем оба промежутка на одной прямой и найдем пересечение.
Пересечение промежутков - отрезок (4; 6].
Ответ: (4;6].

Решить систему неравенств.
а) $\begin{cases}3x+3>6\\2x^2+4x+4 б) $\begin{cases}3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end{cases}$.

Решение.
а) Первое неравенство имеет решение х>1.
Найдем дискриминант для второго неравенства.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Вспомним правило, когда одно из неравенств не имеет решений, то вся система не имеет решений.
Ответ: Нет решений.

Б) Первое неравенство имеет решение х>1.
Второе неравенство больше нуля при всех х. Тогда решение системы совпадает с решением первого неравенства.
Ответ: х>1.

Задачи на системы неравенств для самостоятельного решения

Решите системы неравенств:
а) $\begin{cases}4x-5>11\\2x-12 б) $\begin{cases}-3x+1>5\\3x-11 в) $\begin{cases}x^2-25 г) $\begin{cases}x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end{cases}$
д) $\begin{cases}x^2+36

Определение 1 . Совокупность точек пространства R n , координаты которых удовлетворяют уравнению а 1 х 1 + а 2 х 2 +…+ a n x n = b , называется (n - 1 )-мерной гиперплоскостью в n -мерном пространстве.

Теорема 1. Гиперплоскость делит все пространство на два полупространства. Полупространство является выпуклым множеством.

Пересечение конечного числа полупространств является выпуклым множеством.

Теорема 2 . Решением линейного неравенства с n неизвестными

а 1 х 1 + а 2 х 2 +…+ a n x n b

является одно из полупространств, на которые все пространство делит гиперплоскость

а 1 х 1 + а 2 х 2 +…+a n x n = b .

Рассмотрим систему из m линейных неравенств с n неизвестными.

Решением каждого неравенства системы является некоторое полупространство. Решением системы будет являться пересечение всех полупространств. Это множество будет замкнутым и выпуклым.

Решение систем линейных неравенств

с двумя переменными

Пусть дана система из m линейных неравенств с двумя переменными.

Решением каждого неравенства будет являться одна из полуплоскостей, на которые всю плоскость разбивает соответствующая прямая. Решением системы будет являться пересечение этих полуплоскостей. Данная задача может быть решена графически на плоскости Х 1 0 Х 2 .

37. Представление выпуклого многогранника

Определение 1. Замкнутое выпуклое ограниченное множество в R n , имеющее конечное число угловых точек , называется выпуклым n -мерным многогранником.

Определение 2 . Замкнутое выпуклое неограниченное множество в R n , имеющее конечное число угловых точек, называется выпуклой многогранной областью.

Определение 3 . Множество А R n называется ограниченным, если найдется n -мерный шар, содержащий это множество.

Определение 4. Выпуклой линейной комбинацией точек называется выражение, гдеt i , .

Теорема (теорема о представлении выпуклого многогранника). Любую точку выпуклого многогранника можно представить в виде выпуклой линейной комбинации его угловых точек.

38. Область допустимых решений системы уравнений и неравенств.

Пусть дана система из m линейных уравнений и неравенств с n неизвестными.

Определение 1 . Точка R n называется возможным решением системы, если ее координаты удовлетворяют уравнениям и неравенствам системы. Совокупность всех возможных решений называется областью возможных решений (ОВР) системы.

Определение 2. Возможное решение, координаты которого неотрицательны, называется допустимым решением системы. Множество всех допустимых решений называется областью допустимых решений (ОДР) системы.

Теорема 1 . ОДР является замкнутым, выпуклым, ограниченным (или неограниченным) подмножеством вR n .

Теорема 2. Допустимое решение системы является опорным тогда и только тогда, когда эта точка являетсяугловой точкой ОДР.

Теорема 3 (теорема о представлении ОДР). Если ОДР - ограниченное множество, то любое допустимое решение можно представить в виде выпуклой линейной комбинации угловых точек ОДР (в виде выпуклой линейной комбинации опорных решений системы).

Теорема 4 (теорема о существовании опорного решения системы). Если система имеет хотя бы одно допустимое решение (ОДР), то среди допустимых решений существует хотя бы одно опорное решение.

называется любая совокупность двух или более линейных неравенств, содержащих одну и туже неизвестную величину

Вот образцы подобных систем:

Промежуток пересечения двух лучей и есть наше решение. Следовательно решением данного неравенства выступают все х расположенные между двойкой и восьмеркой.

Ответ: х

Применение такого типа отображения решения системы неравенств иногда именуют методом крыш .

Определение: Пересечением двух множеств А и В называется такое третье множество, которое включает все элементы, входящих и в А и в В . Это смысл пересечения множеств произвольной природы. Нами сейчас детально рассматриваются числовые множества, поэтому при нахождении линейных неравенств такими множествами являются лучи - сонаправленные, противонаправленные и так далее.

Выясним на реальных примерах нахождение линейных систем неравенств, как определить пересечения множеств решений отдельных неравенств, входящих в систему.

Вычислим систему неравенств :

Поместим одну под другой две силовые прямые. На верхней нанесем те значения х, которые выполняют первое неравенство x >7 , а на нижней - которые выступают решением второго неравенства x >10 Соотнесем результаты числовых прямых, выясним, что оба неравенства будут удовлетворятся при x >10.

Ответ: (10;+∞).

Делаем по аналогии с первым образцом. На заданной числовой оси наносим все те значения х при которых существует первое неравенство системы , а на второй числовой оси, размещенной под первой, - все те значения х , при которых выполняется второе неравенство системы. Соотнесем эти два результата и определим, что оба неравенства одновременно будут выполнятся при всех значениях х расположенных между 7 и 10 с учетом знаков получаем 7<х≤10

Ответ: (7; 10].

Подобным образом решаются и нижеследующие системы неравенств.

Свяжем с каждой точкой (x 1 ,x 2 ,…x n) n-мерного пространства R n n-мерный вектор x =(x 1 ,x 2 ,…x n) с началом в начале координат и концом в точке (x 1 ,x 2 ,…x n). Множество векторов х =(х 1 ,х 2 ,...х n) в R n , компоненты которых удовлетворяют m линейным неравенствам:

A 11 х 1 +a 12 х 2 +...+a 1 n x n ≤ b 1

a 21 х 1 +a 22 х 2 +...+a 2 n x n ≤ b 2

. . . . . . . . . . . . (2)

a m 1 х 1 +a m 2 х 2 +...+a m n x n ≤ b m

называется множеством решений системы линейных неравенств.

В определении все неравенства записаны со знаком ≤. Умножая на

(-1) любое из неравенств, можно изменить его знак на противоположный. Множество решений определено для систем линейных неравенств как со знаком ³ так и ≤.

Вопросы моделирования

Предмет теории моделирования

Моделирование - это замещение одного объекта (оригинала) другим (моделью) и фиксация и изучение свойств модели. Замещение производится с целью упрощения, удешевления, ускорения изучения свойств оригинала.

В общем случае объектом-оригиналом может быть естественная или искусственная, реальная или воображаемая система. Она имеет множество параметров и характеризуется определенными свойствами. Количественной мерой свойств системы служит множество характеристик , система проявляет свои свойства под влиянием внешних воздействий .

Множество параметров и их значений отражает ее внутреннее содержание- структуру и принципы функционирования. Характеристики -это в основном ее внешний признаки, которые важны при взаимодействии с другими .

Моделирование целесообразно, когда у модели отсутствуют те признаки оригинала, которые препятствуют его исследованию.

Теория моделирования - взаимосвязанная совокупность положений, определений, методов и средств создания моделей. Сами модели являются предметом теории моделирования.

Теория моделирования является основной составляющей общей теории систем - системологии, где в качестве главного принципа постулируются осуществимые модели: система представима конечным множеством моделей, каждая из которых отражает определенную грань ее сущности.

Роль и место моделирования в исследовании систем.



Познание любой системы () сводится по существу к созданию ее модели. Перед изготовлением каждого устройства или сооружения разрабатывается его модель- проект. Любое произведение искусства является моделью, фиксирующее действительность.

Достижения математики привели к распространению математических моделей различных объектов и процессов. Помечено, что динамика функционирования разных по физической природе систем однотипными зависимостями, что позволяет моделировать их на ПК.

Классификация моделей

Физические модели. В основу классификации положена степень абстрагирования модели от оригинала. Предварительно все модели можно подразделить на 2 группы - физические и абстрактные (математические).

Ф.М. обычно называют систему, эквивалентную или подобную оригиналу, но возможно имеющую другую физическую природу. Виды Ф.М.:

Натуральные;

Квазинатуральные;

Масштабные;

Аналоговые;

Натуральные модели - это реальные исследуемые системы (макеты, опытные образцы). Имеют полную адекватность (соответствия) с системой оригинала, но дороги.

Квазинатуральные модели - совокупность натуральных и математических моделей. Этот вид используется тогда, когда модель части системы не может быть математической из-за сложности ее описания (модель человека оператора) или когда часть системы должна быть исследована во взаимодействии с другими частями, но их еще не существует или их включение очень дорого (вычислительные полигоны, АСУ).

Масштабная модель - это система той же физической природы, что и оригинал, но отличается от него масштабами. Методологической основой масштабного моделирования является теория подобия. При проектировании ВС масштабные модели могут использоваться для анализа вариантов компоновочных решений.

Аналоговыми моделями называются системы, имеющие физическую природу, отличающуюся от оригинала, но сходные с оригиналом процессы функционирования. Для создания аналоговой модели требуется наличие математического описания изучаемой системы. В качестве аналоговых моделей используются механические, гидравлические, пневматические и электрических системы. Аналоговое моделирование используют при исследовании средства ВТ на уровне логических элементов и электрических цепей, а так же на системном уровне, когда функционирование системы описывается например, дифференциальными или алгебраическими уравнениями.

Математические модели. Математические модели представляют собой формализованное представление системы с помощью абстрактного языка, с помощью математических соотношений, отражающих процесс функционирования системы. Для составления математической модели можно использовать любые математические средства - алгебраическое, дифференциальное, интегральное исчисления, теорию множеств, теорию алгоритмов и т.д. По существу вся математика создана для составления и исследования моделей объектов и процессов.

К средствам абстрактного описания систем относятся также языки химических формул, схем, чертежей, карт, диаграмм и т.п. Выбор вида модели определяется особенностями изучаемой системы и целями моделирования, т.к. исследование модели позволяет получить ответы на определенную группу вопросов. Для получения другой информации другой информации может потребоваться модель другого вида. Математические модели можно классифицировать на детерминированные и вероятностные, аналитические, численные и имитационные.

Аналитической моделью называется такое формализованное описание системы, которое позволяет решить уравнение в явном виде, используя известный математический аппарат.

Численная модель характеризуется зависимостью такого вида, который допускает только частные решения для конкретных начальных условий и количественных параметров моделей.

Имитационная модель - это совокупность описания системы и внешних воздействий, алгоритмов функционирования системы или правил изменения состояния системы под влиянием внешних и внутренних возмущений. Эти алгоритмы и правила не дают возможности использования имеющихся математических методов аналитического и численного решения, но позволяют имитировать процесс функционирования системы и производить вычисления интересующих характеристик. Имитационные модели могут быть созданы для гораздо более широкого класса объектов и процессов, чем аналитические и численные. Поскольку для реализации имитационных моделей служат ВС, средствами формализованного описания им служат универсальные и специальные алгоритмические языки. Им в наибольшей степени подходят для исследования ВС на системном уровне.

Рассмотрим ряд задач, в которых необходимо найти область решения системы линейных неравенств.

Пример 1 :

X 1 + 3х 2 ≤ 6

х 1 - х 2 ≤ 2


Искомое множество решений соответствует заштрихованной области. Вершинами множества решений служат три точки (0,2), (0,-2) и (3,1). Ониявляются точками пересечения прямых, ограничивающих множество решений.

В этом примере множество решений - многогранное выпуклое множество.

Пример 2: Изобразить множество решений следующей системы линейных неравенств в R².

X 1 + 2х 2 ≤ 4

3х 1 + 2х 2 ≤ 6

Вершинами искомого множества являются две точки с координатами: (0,2) и (1/2, 9/4). Точка с координатой (0,3) вершиной не является, так как не удовлетворяет первому неравенству. Это множество решений - неограниченно.

РешениеПример 3: Изобразить множество решений следующей системы линейных неравенств в R².

Х 1 - х 2 ³ 1

х 1 + х 2 ≤ 1


Решением первого и второго неравенств являются точки заштрихо-ванного нижнего сектора. Решением третьего неравенства являются точки заштрихованной верхней полуплоскости. Поскольку общих точек у этих двух областей нет, то нет решения и у всей системы неравенств, т.е решением является Æ.

Основная задача линейного программирования.

В общем виде задача линейного программирования (ЗЛП) ставится следующим образом.

Найти вектор х =(х 1 ,х 2 , ... x n) в R n , который максимизирует (или минимизирует) целевую функцию

F(x)=с 1 х 1 +с 2 x 2 +... +с n x n (3)

и удовлетворяет m+n линейным неравенствам:

A 11 х 1 +a 12 x 2 +...+a 1n x n ≤ b 1

a 21 x 1 +a 22 x 2 +...+a 2n x n ≤ b 2

. . . . . . . . . . . . (4)

a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n ≤ b m

x 1 ³0, x 2 ³0, ... x n ³0

В терминологии программирования линейная функция F(х) называется целевой функцией задачи. Множество решений системы линейных неравенств (4) называют множеством допустимых решений, а любой вектор х из этого множества называется допустимым решением. Оптимальным решением называется вектор х *, при котором целевая функция принимает своё максимальное (или минимальное) значение на допустимом множестве решений.

Графический метод решения задач линейного программирования. Покажем, как решается указанная задача графическим (геометрическим) методом. Для этого ограничимся рассмотрением системы линейных неравенств с двумя неизвестными.

Пусть задана целевая функция F=с 1 х 1 +с 2 х 2 +с 0 . Найдём среди множества точек (х 1 ,х 2) из области допустимых решений совместной системы неравенств (4) (содержащей только переменные x 1 и x 2) такие, которые придают линейной функции F наименьшее (наибольшее) значения. Для каждой i – ой точки плоскости функция F принимает фиксированное значение F=F i . Множество всех таких точек на которых функция F принимает одно и то же значение F i есть прямая с 1 х 1 +c 2 х 2 +c 0 =F i = const, перпендикулярная к некоторому вектору, называемому градиентом F (grad F). Этот вектор выходит из начала координат и имеет координаты grad F =(с 1 ,с 2). По свойству вектора grad F если указанную прямую передвигать параллельно самой себе в положительном направлении вектора grad F, то значение целевой функции F=с 1 х 1 +с 2 х 2 +с 0 на этой прямой будет возрастать, а в противоположном направлении - убывать.

Пусть при движении прямой F=const в положительном направлении вектора grad F эта прямая впервые встретится с многоугольником допустимых решений в его вершине. Тогда в этом положении F 1 прямая F=const называется опорной, и на этой прямой функция F принимает наименьшее значение. При дальнейшем движении в том же направлении (положительном) прямая F=const пройдёт через другую вершину многоугольника допустимых решений и выходя из области решений также станет опорной прямой F 2 . На ней функция F принимает наибольшее значение среди всех значений, принимаемых на многоугольнике допустимых решений. Таким образом, минимизация и максимизация целевой функции F=с 1 х 1 +с 2 х 2 +с 0 на многоугольнике допустимых решений достигается в точках пересечения этого многоугольника с опорными прямыми F=с 1 х 1 +с 2 х 2 +с 0 = const, нормальными к вектору grad F=(с 1 , с 2). Это пересечение опорной прямой с множеством допустимых решений может быть либо в одной точке (вершине многоугольника), либо в бесконечном множестве точек (если это множество сторона многоугольника).

Задание по первой, второй, третьей задаче выбирается по фамилии имени отчеству студента, а по четвертой задаче выбирается по фамилии и отчеству.

Задача №1

Таблица 1

Первая буква Фамилия Имя Отчество
a 11 a 12 a 21 a 2 2 a 31 a 32 a 41 a 4 2 b 1 b 2 b 3 C0 C1 C2
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
ШЭ
ЮЯ

Пример 4: Минимизировать линейную форму F=14x 1 +4x 2 при ограничениях:

7х 1 + 2х 2 ³ 14

4 х 1 –7x 2 ≤ 14

Заменив знаки неравенств на знаки точных равенств, получим уравнения границ области допустимых решений. По уравнениям, полученных прямых построим искомую область:

7х 1 +2х 2 =14

4 х 1 – 7x 2 = 14

Областью допустимых решений системы неравенств является многоугольник ABCDE.


 рис 5.

Для нахождения точек экстремума построим прямую F=14x 1 +4x 2 =0 и вектор gradF = (14, 4). Будем передвигать прямую F=0 параллельно самой себе в направлении вектора grad F. С многоугольником ABCDE эта прямая впервые встретиться в точках Е(2,0) и А(10/9, 28/9), где целевая функция принимает одно и то же минимальное значение F(E) = F(A) =14·2+4∙0=28-min, (т.к. вектор grad F перпендикулярен прямой АЕ). Таким образом, минимальное значение целевая функция принимает в любой точке отрезка AE.

Из плана основной задачи линейного программирования следует, что число его положительных компонент не превышает .

Опорный план называется невырожденным, если он содержит ровно положительных компонент; в противном случае план является вырожденным.

Любые переменных системы линейных уравнений с переменными (при условии ) называются основными, если определитель матрицы коэффициентов при них отличен от нуля. Тогда остальные переменных называются не основными.

Базисным решением системы m линейных уравнений с переменными называется всякое ее решение, в котором все не основные переменные имеют нулевые значения.

Теорема 1 . Множество всех допустимых решений системы ограничений задачи линейного программирования является выпуклым.

Теорема 2 . Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно совпадает с угловой точкой множества допустимых решений.

Следствие. Если оптимальное решение не единственное, то таких решений будет множество (например, все точки отрезка, соединяющего соответствующие угловые точки).

Теорема 3 . Каждому допустимому базисному решению задачи линейного программирования соответствует угловая точка области допустимых значений, и наоборот.

Понятие о симплекс-методе .

Решение основной задачи линейного программирования геометрическим методом достигает большой наглядности в случае 2-х и 3-х переменных. Для случая же большего числа переменных геометрический метод становится невозможным. Так называемый симплекс-метод принадлежит к числу аналитических методов решения основной задачи линейного программирования. При этом ограничения, используемые при реализации симплекс-метода, обычно задаются системой линейных уравнений

A 11 х 1 +a 12 х 2 +...+a 1n x n = b 1

a 21 х 1 +a 22 х 2 +...+a 2n x n = b 2

. . . . . . . . . . . . (5)

a m 1 х 1 +a m 2 х 2 +...+a mn x n = b m

среди неотрицательных решений которой ищутся такие, которые максими-зировали бы линейную (целевую) функцию

F=с 1 х 1 +с 2 х 2 +…+с n х n +с 0

Симплексный метод основан на теоремах:

Теорема 1. Если ЗЛП имеет оптимальное решение, то целевая функция принимает экстремальное значение в одной из угловых точек выпуклого многоугольника допустимых решений.

Теорема 2. Каждому опорному решению ЗЛП соответствует угловая точка многоугольника допустимых решений и наоборот.

Исходя из этих теорем, при реализации симплекс-метода осуществляется целенаправленный перебор всех вершин так, чтобы в каждой следующей вершине значение целевой функции было бы не меньше (не больше) чем в предыдущей вершине. При этом за конечное число шагов достигается искомое оптимальное решение, или устанавливается, что ЗЛП неразрешима.

Для осуществления указанного алгоритма выберем в системе (5) max набор линейно независимых переменных (тех, для которых определитель составленный из коэффициентов перед этими переменными отличен от 0). Пусть для определенности это будут переменные х 1 , х 2 ,... х r (r ≤ m). Выразим эти переменные через остальные переменные

Х 1 = а" 1, r +1 х г+1 + ... + a" 1 n х n + b 1 "

х 2 = а" 2, r +1 х г+1 + ... + a" 2 n х n + b 2 " (6)

. . . . . . . . . . . . . . . .

х r = a" r , r +1 х г+1 + ... + a" r n x n + b r "

причем будем предполагать, что все b 1 "³0, b 2 "³0, b r "³0. Если исходные ограничительные условия заданы неравенствами, то их можно преобразовать к виду (5) путём введения новых неотрицательных переменных, так называемых балансовых (выравнивающих). Так, например,в неравенствеа 1 х 1 +а 2 х 2 +…+а n х n ≤ b достаточно добавить к левой части неравенства некоторую величину х n +1 ³ 0 равную разности между правой и левой частями неравенства и мы получим равенство a 1 x 1 + а 2 х 2 +…+а n х n + x n +1 = b. Если ограничительные условия заданы смешанным образом, то есть неравенствами и уравнениями, тогда указанным путём их так же можно свести только к уравнениям.

В полученной системе (6) переменные (неизвестные) х 1 ,х 2 ... х г называются базисными, а весь набор {х 1 , х 2 ... х г } - базисом, ос­тальные переменные называются свободными. Система ограничений (6) называется системой, приведённой к единичному базису. Подставляя в целевую функцию F вместо базисных переменных их выражения через свободные из системы (6) получим

F = C 0 + C г+1 х г+1 + … + C n х n

Теперь, полагая все свободные переменные равными нулю, найдём значения базисных переменных:

х 1 =b 1 " , х 2 = b 2 " , ... x r =b r "

Полученное таким образом допустимое решение системы (6)

(b 1 " ,b 2 " , ... b r " , 0, ... 0) называется базисным. Для этого базисного решения значение целевой функции будет равно F Б = C 0.

Решение задачи при помощи симплекс-метода распадается на ряд шагов, заключающихся в том, что от данного базиса Б мы переходим к другому базису Б" с таким расчётом, чтобы значение F Б на новом базисе увеличивалось или, по крайней мере, не уменьшалось, то есть выполнялось F Б " ≥ F Б. При этом если все b 1 ">0, b 2 ">0,…., b r ">0 , то данное решение называется опорным и соответствует какой-нибудь угловой точке области допустимых решений определяемой исходной системой ограничений. Тогда переход от одного базисного (опорного) решения к другому соответствует переходу от одной вершины многоугольника допустимых решений к другой вершине.

ЗАДАЧА№2

Для реализации трех групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами органических материально-денежных ресурсов в количестве , , единиц. При этом для продажи 1 группы товаров на 1 тыс.руб. товарооборота расход утерся в количестве единиц, ресурса второго вида в количестве единиц, ресурса третьего вида в количестве единиц. Для продажи 2 и 3 групп товара на 1 тыс.руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве , единиц, ресурсов второго вида в количестве , единиц, ресурсов третьего вида в количестве , единиц. Прибыль от одах трех групп товаров на 1тыс.руб. товарооборота составляет соответственно , , (тыс.руб.).

Определить плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной.

Первая буква Фамилия Имя Отчество
А
Б
В 1 0
Г
Д
Е
Ж
З
И
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Ш Э
Ю Я

Пример 5: Максимизировать целевую функцию F=-х 4 +х 5 при ограничениях:

Данная система уравнений совместна, так как ранги матрицы системы

и расширенной матрицы

совпадают и равны 3. Выражая базисные переменные (стоящие в единичных столбцах) х 1 , х 2 , х 3 , через свободные переменные х 4 и х 5 , приходим к системе

(7)

Помимо системы (7) базисные переменные выразим через свободные переменные и в целевой функции (в нашем примере F = -x 4 + x 5 уже выражена через свободные переменные x 4 и x 5). Полагая теперь х 4 = 0, х 5 =0 находим базисные переменные: х 1 =1, х 2 =2, х 3 =3. Таким образом, первое допустимое базисное решение системы уравнений есть (1, 2, 3, 0, 0) . При найденном допустимом решении целевая функция F имеет значение 0, то есть F 1 =0.

Теперь попытаемся увеличить значение F 1 . Увеличение х 4 уменьшит F 1 , так как перед х 4 в выражении F = -x 4 + x 5 стоит отрицательный коэффициент, а увеличение x 5 даёт увеличение F 1 . Увеличим поэтому x 5 так, чтобы х 1 , х 2 , х 3 , не стали отрицательными, оставив х 4 =0. Из второго уравнения (7) видим, что х 5 можно увеличить до 2 (так, чтобы x 2 оставалось бы 0, при x 4 = 0). Тогда значение переменных будут (5, 0, 1, 0, 2), а значение F 2 = 2. Как видно величина F на втором шаге увеличилась.

Поскольку x 2 и x 4 оказались равными 0, то далее примем за свободные неизвестные х 2 и х 4 , тогда х 5 = 2-х 2 +2х 4

и от системы (7) переходим к эквивалентной ей системе (8)

(8)

Причем и F в этом случае будет равной

F = 2-х 2 +х 4

Для увеличения F будем увеличивать х 4 (так как перед x 2 стоитотрицательный коэффициент) Из второго уравнения системы (8) видно, что при условии неотрицательного х 3 значение х 4 можно довести до х 4 =1/5, тогда имеем (28/5, 0, 0, 1/5, 12/5), F 3 =11/5.

Поскольку в решении получено x 2 = x 3 = 0, то примем x 2 и x 3 за свободные переменные и выразим х 1 , х 4 , х 5 , через х 2 и х 3 .Получим

X 1 = 28/5 - 7/5 x 2 - 3/5 x 3

x 4 = 1/5 + 1/5 x 2 – 1/5 x 3

x 5 = 12/5 – 3/5 x 2 – 2/5 x 3

причем F = 11/5 – 4/5 x 2 – 1/5 x 3

Так как коэффициенты при x 2 и при x 3 в выражении для F отрицательны, то увеличить значение F уже невозможно. Поэтому полагая х 2 = х 3 =0 получаем наибольшее значение F = 11/5 при решении (28/5, 0, 0, 1/5, 12/5)

Ответ: F max = 11/5 при X * = (28/5, 0, 0, 1/5, 12/5)

Симплексные таблицы.

Поскольку решать ЗЛП, используя такие рассуждения, как это делалось в предыдущем примере, явно неудобно для компактной записи решения, а так же для возможности программирования алгоритма решения на ЭВМ используются так называемые симплекс-таблицы. Для этого систему ограничений сведем к единичному базису

х 1 + а 1, r +1 х г+1 + ... + a 1 n х n = b 1

х i + а i,r+1 х г+1 + .... + a i n х n = b i (9)

х r + а r,r+1 х г+1 + ... + a r n х n = b r

а целевую функцию F - к виду:

F = C г+1 x r +1 + ... + C j х j +…+ C n x n + C 0 (10)

Равенство (10) будем называть приведённым (к свободным переменным) выражением для функции F а коэффициенты C j – оценками (индексами) соответствующих свободных переменных х j .

Коэффициенты приведенной выше системы ограничений (9), а так же различные вспомогательные переменные заносятся в симплексную таблицу (Таблица 1)

Таблица 1

Базисные перемен-ные Свободные члены х 1 ... х i ... x r х г+1 ... x j ... х n
х 1 b 1 ... ... а 1,r+1 ... a 1j ... a 1n
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
х i b i ... ... а i,r+1 ... a ij ... a in
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
x r b r ... ... а r,r+1 ... a rj ... a rn
F= C 0 ... ... - C г+1 ... - C j ... - C n

Первые r столбцов с неизвестными x i - это единичные столбцы при базисных переменных x 1 ,…,x r . Следующие n-r столбцов – это столбцы при свободных переменных x r +1 ,…,x n . Полагая свободные переменные x r +1 = …=

X n = 0, находим базисные переменные x 1 = b 1 ,…, x r = b r . При этом значение целевой функции F = C 0 .

Найденный вектор-план X 1 = и значение целевой функции F = C 0 соответствуют некоторой вершине многоугольника допустимых решений. Переход к другой вершине и, следовательно, к другому вектор-плану и другому значению целевой функции осуществляется с помощью пересчета данной симплексной таблицы.

После получения начальных сведений о неравенствах с переменными, переходим к вопросу их решения. Разберем решение линейных неравенств с одной переменной и все методы для их разрешения с алгоритмами и примерами. Будут рассмотрены только линейные уравнения с одной переменной.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Что такое линейное неравенство?

В начале необходимо определить линейное уравнение и выяснить его стандартный вид и чем оно будет отличаться от других. Из школьного курса имеем, что у неравенств нет принципиального различия, поэтому необходимо использовать несколько определений.

Определение 1

Линейное неравенство с одной переменной x – это неравенство вида a · x + b > 0 , когда вместо > используется любой знак неравенства < , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Определение 2

Неравенства a · x < c или a · x > c , с x являющимся переменной, а a и c некоторыми числами, называют линейными неравенствами с одной переменной .

Так как ничего не сказано за то, может ли коэффициент быть равным 0 , тогда строгое неравенство вида 0 · x > c и 0 · x < c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Их различия заключаются в:

  • форме записи a · x + b > 0 в первом, и a · x > c – во втором;
  • допустимости равенства нулю коэффициента a , a ≠ 0 - в первом, и a = 0 - во втором.

Считается, что неравенства a · x + b > 0 и a · x > c равносильные, потому как получены переносом слагаемого из одной части в другую. Решение неравенства 0 · x + 5 > 0 приведет к тому, что его необходимо будет решить, причем случай а = 0 не подойдет.

Определение 3

Считается, что линейными неравенствами в одной переменной x считаются неравенства вида a · x + b < 0 , a · x + b > 0 , a · x + b ≤ 0 и a · x + b ≥ 0 , где a и b являются действительными числами. Вместо x может быть обычное число.

Исходя из правила, имеем, что 4 · x − 1 > 0 , 0 · z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 · x - 2 < 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x > 7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 называют сводящимися к линейному.

Как решить линейное неравенство

Основным способом решения таких неравенств сводится к равносильным преобразованиям для того, чтобы найти элементарные неравенства x < p (≤ , > , ≥) , p являющееся некоторым числом, при a ≠ 0 , а вида a < p (≤ , > , ≥) при а = 0 .

Для решения неравенства с одной переменной, можно применять метода интервалов или изображать графически. Любой из них можно применять обособленно.

Используя равносильные преобразования

Чтобы решить линейное неравенство вида a · x + b < 0 (≤ , > , ≥) , необходимо применить равносильные преобразования неравенства. Коэффициент может быть равен или не равен нулю. Рассмотрим оба случая. Для выяснения необходимо придерживаться схемы, состоящей из 3 пунктов: суть процесса, алгоритм, само решение.

Определение 4

Алгоритм решение линейного неравенства a · x + b < 0 (≤ , > , ≥) при a ≠ 0

  • число b будет перенесено в правую часть неравенства с противоположным знаком, что позволит прийти к равносильному a · x < − b (≤ , > , ≥) ;
  • будет производиться деление обеих частей неравенства на число не равное 0 . Причем, когда a является положительным, то знак остается, когда a – отрицательное, меняется на противоположный.

Рассмотрим применение данного алгоритма на решении примеров.

Пример 1

Решить неравенство вида 3 · x + 12 ≤ 0 .

Решение

Данное линейное неравенство имеет a = 3 и b = 12 . Значит, коэффициент a при x не равен нулю. Применим выше сказанные алгоритмы, решим.

Необходимо перенести слагаемое 12 в другую часть неравенства с изменением знака перед ним. Тогда получаем неравенство вида 3 · x ≤ − 12 . Необходимо произвести деление обеих частей на 3 . Знак не поменяется, так как 3 является положительным числом. Получаем, что (3 · x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , что даст результат x ≤ − 4 .

Неравенство вида x ≤ − 4 является равносильным. То есть решение для 3 · x + 12 ≤ 0 – это любое действительное число, которое меньше или равно 4 . Ответ записывается в виде неравенства x ≤ − 4 , или числового промежутка вида (− ∞ , − 4 ] .

Весь выше прописанный алгоритм записывается так:

3 · x + 12 ≤ 0 ; 3 · x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Ответ: x ≤ − 4 или (− ∞ , − 4 ] .

Пример 2

Указать все имеющиеся решения неравенства − 2 , 7 · z > 0 .

Решение

Из условия видим, что коэффициент a при z равняется - 2 , 7 , а b в явном виде отсутствует или равняется нулю. Первый шаг алгоритма можно не использовать, а сразу переходить ко второму.

Производим деление обеих частей уравнения на число - 2 , 7 . Так как число отрицательное, необходимо поменять знак неравенства на противоположный. То есть получаем, что (− 2 , 7 · z) : (− 2 , 7) < 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Весь алгоритм запишем в краткой форме:

− 2 , 7 · z > 0 ; z < 0 .

Ответ: z < 0 или (− ∞ , 0) .

Пример 3

Решить неравенство - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .

Решение

По условию видим, что необходимо решить неравенство с коэффициентом a при переменной x , которое равняется - 5 , с коэффициентом b , которому соответствует дробь - 15 22 . Решать неравенство необходимо, следуя алгоритму, то есть: перенести - 15 22 в другую часть с противоположным знаком, разделить обе части на - 5 , изменить знак неравенства:

5 · x ≤ 15 22 ; - 5 · x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

При последнем переходе для правой части используется правило деления числе с разными знаками 15 22: - 5 = - 15 22: 5 , после чего выполняем деление обыкновенной дроби на натурально число - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

Ответ: x ≥ - 3 22 и [ - 3 22 + ∞) .

Рассмотрим случай, когда а = 0 . Линейное выражение вида a · x + b < 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Все основывается на определении решения неравенства. При любом значении x получаем числовое неравенство вида b < 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Все суждения рассмотрим в виде алгоритма решения линейных неравенств 0 · x + b < 0 (≤ , > , ≥) :

Определение 5

Числовое неравенство вида b < 0 (≤ , > , ≥) верно, тогда исходное неравенство имеет решение при любом значении, а неверно тогда, когда исходное неравенство не имеет решений.

Пример 4

Решить неравенство 0 · x + 7 > 0 .

Решение

Данное линейное неравенство 0 · x + 7 > 0 может принимать любое значение x . Тогда получим неравенство вида 7 > 0 . Последнее неравенство считается верным, значит любое число может быть его решением.

Ответ : промежуток (− ∞ , + ∞) .

Пример 5

Найти решение неравенства 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .

Решение

При подстановке переменной x любого числа получим, что неравенство получит вид − 12 , 7 ≥ 0 . Оно является неверным. То есть 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Рассмотрим решение линейных неравенств, где оба коэффициента равняется нулю.

Пример 6

Определить не имеющее решение неравенство из 0 · x + 0 > 0 и 0 · x + 0 ≥ 0 .

Решение

При подстановке любого числа вместо x получим два неравенства вида 0 > 0 и 0 ≥ 0 . Первое является неверным. Значит, 0 · x + 0 > 0 не имеет решений, а 0 · x + 0 ≥ 0 имеет бесконечное количество решений, то есть любое число.

Ответ : неравенство 0 · x + 0 > 0 не имеет решений, а 0 · x + 0 ≥ 0 имеет решения.

Данный метод рассматривается в школьном курсе математики. Метод интервалов способен разрешать различные виды неравенств, также и линейные.

Метод интервалов применяется для линейных неравенств при значении коэффициента x не равному 0 . Иначе придется вычислять при помощи другого метода.

Определение 6

Метод интервалов – это:

  • введение функции y = a · x + b ;
  • поиск нулей для разбивания области определения на промежутки;
  • определение знаков для понятия их на промежутках.

Соберем алгоритм для решения линейных уравнений a · x + b < 0 (≤ , > , ≥) при a ≠ 0 с помощью метода интервалов:

  • нахождение нулей функции y = a · x + b , чтобы решить уравнение вида a · x + b = 0 . Если a ≠ 0 , тогда решением будет единственный корень, который примет обозначение х 0 ;
  • построение координатной прямой с изображением точки с координатой х 0 , при строгом неравенстве точка обозначается выколотой, при нестрогом – закрашенной;
  • определение знаков функции y = a · x + b на промежутках, для этого необходимо находить значения функции в точках на промежутке;
  • решение неравенства со знаками > или ≥ на координатной прямой добавляется штриховка над положительным промежутком, < или ≤ над отрицательным промежутком.

Рассмотрим несколько примеров решения линейного неравенства при помощи метода интервалов.

Пример 6

Решить неравенство − 3 · x + 12 > 0 .

Решение

Из алгоритма следует, что для начала нужно найти корень уравнения − 3 · x + 12 = 0 . Получаем, что − 3 · x = − 12 , x = 4 . Необходимо изобразить координатную прямую, где отмечаем точку 4 . Она будет выколотой, так как неравенство является строгим. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.

Нужно определить знаки на промежутках. Чтобы определить его на промежутке (− ∞ , 4) , необходимо произвести вычисление функции y = − 3 · x + 12 при х = 3 . Отсюда получим, что − 3 · 3 + 12 = 3 > 0 . Знак на промежутке является положительным.

Определяем знак из промежутка (4 , + ∞) , тогда подставляем значение х = 5 . Имеем, что − 3 · 5 + 12 = − 3 < 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Мы выполняем решение неравенства со знаком > , причем штриховка выполняется над положительным промежутком. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.

Из чертежа видно, что искомое решение имеет вид (− ∞ , 4) или x < 4 .

Ответ : (− ∞ , 4) или x < 4 .

Чтобы понять, как изображать графически, необходимо рассмотреть на примере 4 линейных неравенства: 0 , 5 · x − 1 < 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 > 0 и 0 , 5 · x − 1 ≥ 0 . Их решениями будут значения x < 2 , x ≤ 2 , x > 2 и x ≥ 2 . Для этого изобразим график линейной функции y = 0 , 5 · x − 1 , приведенный ниже.

Видно, что

Определение 7

  • решением неравенства 0 , 5 · x − 1 < 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
  • решением 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 считается промежуток, где функция y = 0 , 5 · x − 1 ниже О х или совпадает;
  • решением 0 , 5 · x − 1 > 0 считается промежуток, гре функция располагается выше О х;
  • решением 0 , 5 · x − 1 ≥ 0 считается промежуток, где график выше О х или совпадает.

Смысл графического решения неравенств заключается в нахождении промежутков, которое необходимо изображать на графике. В данном случае получаем, что левая часть имеет y = a · x + b , а правая – y = 0 , причем совпадает с О х.

Определение 8

Построение графика функции y = a · x + b производится:

  • во время решения неравенства a · x + b < 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
  • во время решения неравенства a · x + b ≤ 0 определяется промежуток, где график изображается ниже оси О х или совпадает;
  • во время решения неравенства a · x + b > 0 производится определение промежутка, где график изображается выше О х;
  • во время решения неравенства a · x + b ≥ 0 производится определение промежутка, где график находится выше О х или совпадает.

Пример 7

Решить неравенство - 5 · x - 3 > 0 при помощи графика.

Решение

Необходимо построить график линейной функции - 5 · x - 3 > 0 . Данная прямая является убывающей, потому как коэффициент при x является отрицательным. Для определения координат точки его пересечения с О х - 5 · x - 3 > 0 получим значение - 3 5 . Изобразим графически.

Решение неравенства со знаком > , тогда необходимо обратить внимание на промежуток выше О х. Выделим красным цветом необходимую часть плоскости и получим, что

Необходимый промежуток является частью О х красного цвета. Значит, открытый числовой луч - ∞ , - 3 5 будет решением неравенства. Если бы по условию имели нестрогое неравенство, тогда значение точки - 3 5 также являлось бы решением неравенства. И совпадало бы с О х.

Ответ : - ∞ , - 3 5 или x < - 3 5 .

Графический способ решения используется, когда левая часть будет отвечать функции y = 0 · x + b , то есть y = b . Тогда прямая будет параллельна О х или совпадающей при b = 0 . Эти случаю показывают, что неравенство может не иметь решений, либо решением может быть любое число.

Пример 8

Определить из неравенств 0 · x + 7 < = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Решение

Представление y = 0 · x + 7 является y = 7 , тогда будет задана координатная плоскость с прямой, параллельной О х и находящейся выше О х. Значит, 0 · x + 7 < = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

График функции y = 0 · x + 0 , считается y = 0 , то есть прямая совпадает с О х. Значит, неравенство 0 · x + 0 ≥ 0 имеет множество решений.

Ответ : второе неравенство имеет решение при любом значении x .

Неравенства, сводящиеся к линейным

Решение неравенств можно свести к решению линейного уравнения, которые называют неравенствами, сводящимися к линейным.

Данные неравенства были рассмотрены в школьном курсе, так как они являлись частным случаем решения неравенств, что приводило к раскрытию скобок и приведению подобных слагаемых. Для примера рассмотрим, что 5 − 2 · x > 0 , 7 · (x − 1) + 3 ≤ 4 · x − 2 + x , x - 3 5 - 2 · x + 1 > 2 7 · x .

Неравенства, приведенные выше, всегда приводятся к виду линейного уравнения. После чего раскрываются скобки и приводятся подобные слагаемые, переносятся из разных частей, меняя знак на противоположный.

При сведении неравенства 5 − 2 · x > 0 к линейному, представляем его таким образом, чтобы оно имело вид − 2 · x + 5 > 0 , а для приведения второго получаем, что 7 · (x − 1) + 3 ≤ 4 · x − 2 + x . Необходимо раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, перенести все слагаемые в левую часть и привести подобные слагаемые. Это выглядит таким образом:

7 · x − 7 + 3 ≤ 4 · x − 2 + x 7 · x − 4 ≤ 5 · x − 2 7 · x − 4 − 5 · x + 2 ≤ 0 2 · x − 2 ≤ 0

Это приводит решение к линейному неравенству.

Эти неравенства рассматриваются как линейные, так как имеют такой же принцип решения, после чего возможно приведение их к элементарным неравенствам.

Для решения такого вида неравенства такого вида необходимо свести его к линейному. Это следует делать таким образом:

Определение 9

  • раскрыть скобки;
  • слева собрать переменные, а справа числа;
  • привести подобные слагаемые;
  • разделить обе части на коэффициент при x .

Пример 9

Решить неравенство 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .

Решение

Производим раскрытие скобок, тогда получим неравенство вида 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . После приведения подобных слагаемых имеем, что 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . После перенесения слагаемых с левой в правую, получим, что 6 · x + 15 − 6 · x + 17 ≤ 0 . Отсюда имеет неравенство вида 32 ≤ 0 из полученного при вычислении 0 · x + 32 ≤ 0 . Видно, что неравенство неверное, значит, неравенство, данное по условию, не имеет решений.

Ответ : нет решений.

Стоит отметить, что имеется множество неравенств другого вида, которые могут сводится к линейному или неравенству вида, показанного выше. Например, 5 2 · x − 1 ≥ 1 является показательным уравнением, которое сводится к решению линейного вида 2 · x − 1 ≥ 0 . Эти случаи будут рассмотрены при решении неравенств данного вида.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter